꼭짓점은 무엇을 알려 주나요?

곡선의 가장 높은 점 또는 가장 낮은 점입니다. 최댓값이나 최솟값을 묻는 문제에서 필요한 것이 바로 이것입니다. 던진 공이 닿는 최고 높이, 이익이 가장 커지는 가격, 정해진 부피에 드는 최소 재료 같은 것들이죠. 대칭축은 그 점을 지나는 수직선이고, 두 근은 그 양옆에 같은 거리로 놓입니다.

왜 어떤 때는 근이 하나만 나오나요?

판별식이 정확히 0이면 두 근이 같은 자리에 놓이므로 값이 둘이 아니라 하나가 됩니다. 엄밀히는 중근이고, 포물선은 그 지점에서 축을 지나지 않고 닿기만 합니다. 선생님들은 흔히 두 번 적기를 원하지만, 어느 쪽이든 수 자체는 같습니다.

식을 인수분해도 해 주나요?

별도의 단계로는 아니지만 근이 곧바로 알려 줍니다. 근이 p와 q라면 식은 a(x − p)(x − q)로 인수분해됩니다. 근이 2와 1이고 a가 1이면 (x − 2)(x − 1)이 되죠. 근이 지저분한 소수라면 정직한 해석은 이 식이 정수 범위에서 깔끔하게 인수분해되지 않는다는 뜻입니다.

a에 0을 넣으면 어떻게 되나요?

그 식은 이차방정식이 아니게 되고 직선이 됩니다. 도구는 그 사실을 알리고 대신 일차방정식으로 풉니다. 사소한 형식 문제가 아닙니다. 표준 공식은 2a로 나누므로 a가 0이면 0으로 나누게 되어 엉뚱한 값이 나옵니다. 상황을 이름 붙여 말하는 편이 대시를 띄우는 것보다 쓸모 있습니다.

이차방정식 계산기 - 근, 판별식, 꼭짓점

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이차방정식 풀이

x² + x + = 0

근 —

판별식 —

꼭짓점 —

대칭축 —

이차방정식 읽기

모든 이차방정식은 포물선을 그리고, 그것을 푼다는 것은 그 곡선이 x축과 만나는 자리를 찾는 일입니다. 두 번 지나기도 하고, 살짝 닿기만 하기도 하고, 아예 축 근처에도 가지 않기도 합니다. 판별식은 근을 하나도 계산하기 전에 셋 중 어느 경우인지 알려 줍니다.

세 단계 사용법

1 모든 항을 한쪽으로 모아 = 0으로 끝나도록 식을 정리하세요. 그래야 a, b, c가 공식이 기대하는 뜻이 됩니다.
2 세 계수를 입력하세요. 빠진 항은 0입니다. x² − 4 = 0에서는 b = 0입니다.
3 먼저 판별식을 보세요. 양수면 근이 둘, 0이면 하나, 음수면 근이 복소수입니다.

판별식이 정하는 것

판별식은 b² − 4ac, 공식에서 근호 안에 들어가는 부분입니다. 값이 음수면 음수의 제곱근을 구해야 하고 그것은 실수 답이 없습니다. 바로 포물선이 축에 닿지 않는 경우입니다. 이야기의 전부가 부호에 있으므로 근보다 먼저 읽어 볼 만합니다.

복소근도 엄연한 답입니다

판별식이 음수일 때 이 도구는 대시를 띄우는 대신 두 근을 a ± bi 꼴로 적습니다. "해가 없다"고 말하면 틀립니다. 방정식에는 해가 둘 있고, 다만 수직선 위에 있지 않을 뿐입니다. 전자공학과 신호 처리에서는 바로 그 근이 답의 쓸모 있는 부분이지 실패가 아닙니다.